組合せ論と可換代数

私は主に格子多面体について研究しています。特に、格子多面体のEhrhart多項式、つまり、格子多面体を膨らませたものに含まれる格子点の数え上げ函数に興味を持っています。格子多角形Pに対し、Pの面積がPの格子点数によって計算できるという、いわゆるピックの公式があります。格子多面体のEhrhart多項式の理論は、ピックの公式の高次元版と理解することができます。
さらに私は、可換環論や代数幾何の文脈で現れる格子多面体についても研究しています。例えば、格子多面体に付随するある種の次数付き代数であるトーリック環や、Fano多面体と呼ばれるある種の格子多面体に対応するトーリックFano多様体に対し、付随している格子多面体における組合せ論的な議論を経由することで元の代数的対象の性質を導くことを目指しています。最近では、「Fano多面体の組合せ的変異」に特に興味を持っています。これは、Fano多様体におけるミラー対称性に起源を持つ組合せ論的な概念です。